数学提高4：组合数公式和变换技巧

数学提高四：组合数公式和变换技巧

有朋友给出了两道题：

1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？

2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。（我不会用求和的符号）

公式1：
C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明
方法2、（更重要的思路）
C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定一个。则选出N个的方法中，包含这一个的有C（M-1，N-1）种，不包含这一个的有C（M-1，N）种。
因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

公式2：
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N） （M》=N）

证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
包含1号的有C（M-1，N-1）种；
不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；
。。。。。。
不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种
。。。。。。
不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）

公式3：
S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N） （P，Q）=N）

证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，
C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）

公式4（一种变换技巧）：
S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

证明：
S（K=0，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）
=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

公式5（公式4的同种）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

证明：（类似上式）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。

例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
解：（本题利用公式3、4、5）
有K件次品的概率为：
P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
E（X）
=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）
=1000*C（14999，149）/C（15000，150）
=10

D（X）
=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，150）

=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）
-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100
=138600/14999
=9.240616041

此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？
E（X）=P*N/M
D（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）
+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2

例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：
P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大）
射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S（K=R，W）P（K）=1 （这是概率的特点）
即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。

E（X）
=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1，R1=R+1，则
E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E（X）=P/R

D（X）
=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=（推导过程同求E（X），略）
=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P
=（1-P）*R/P/P